Question

设f(x)=

lnx

x-1

(x＞1)
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a、使得关于x的不等式lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导后，构造新的函数g（x），利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解．
（2）根据已知lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等价于lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，构造新的函数h（x）=lnx-a（x-1），本题所要求的a的取值范围，只需满足一个条件：使得h（x）在定义域内为减函数即可．

解答：证明：（1）∵f(x)=

lnx

x-1

，(x＞1)
∴f′(x)=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

，
设g(x)=1-

1

x

-lnx，(x≥1)．
∴g′(x)=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

≤0，
∴y=g（x）在[1，+∞）上为减函数．
∴g(x)=1-

1

x

-lnx≤g(1)=0，
∴，f′(x)=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

＜0
∴函数f(x)=

lnx

x-1

在（1，+∞）上为减函数．
（2）lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，?lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-a（x-1），则h（1）=0，
∴h′(x)=

1

x

-a，
若a≤0显然不满足条件，
若a≥1，则x∈[1，+∞）时，h′(x)=

1

x

-a≤0恒成立，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，+∞）上为减函数
∴lnx-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
若0＜a＜1，则h′(x)=

1

x

-a=0时，x=

1

a

，
∴x∈[1，

1

a

时h'（x）≥0，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，

1

a

上为增函数，
当x∈[1，

1

a

时，h（x）=lnx-a（x-1）＞0，
不能使lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥1

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，这一道题的新颖之处是构造新的函数，这也是教学中的重点和难点，希望在平时多加练习，掌握要领．