Question

14．已知命题P：|1-a|＜6，命题Q：{x|x²+（a+2）x+1=0}∩R⁺=∅．命题P真Q假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由命题Q可知，方程x²+（a+2）x+1=0无解或实数根小于0，从而根据判别式的取值及韦达定理便有△＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-（a+2）＜0}\end{array}\right.$，这样便可得出命题Q下a的取值范围，再解不等式|1-a|＜6便可得到命题P下a的范围，根据命题P真Q假便可得出实数a的取值范围．

解答 解：根据命题Q知，方程x²+（a+2）x+1=0无解，或实根小于0；
∴△=（a+2）²-4＜0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=（a+2）^{2}-4≥0}\\{-（a+2）＜0}\end{array}\right.$；
解得-4＜a＜0，或a≥0；
∴a＞-4；
解|1-a|＜6得-5＜a＜7；
∵P真Q假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a≤-4}\end{array}\right.$；
∴-5＜a≤-4；
∴实数a的取值范围为（-5，-4]．

点评 考查交集、空集的概念，一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，韦达定理，以及解绝对值不等式，真假命题的概念．