Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出$\frac{AN}{NP}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；
（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；
（3）存在，$\frac{AN}{NP}=\frac{4}{7}$．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．

解答 （1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．
∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$
∵CD∥AB，且$CD=\frac{1}{2}AB$，∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF
∵DF?平面ADP，CE?平面ADP，
∴CE∥平面ADP
（2）证明：由（1）可得CE∥DF
∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB
∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD
∴AB⊥平面PBC  
又∵CE?平面PBC，
∴AB⊥CE
又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB?平面PBC，
∴CE⊥平面PAB
∵CN∥DF，
∴DF⊥平面PAB 
又∵DF?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（3）解：存在，$\frac{AN}{NP}=\frac{4}{7}$．
证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，
在平面ABCD中由平几得$\frac{AQ}{QO}=\frac{4}{7}$，∴$\frac{AN}{NP}=\frac{AQ}{QO}∴NQ$∥OP．
∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，
∵PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，
∵NQ?平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．

点评 本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．