题目内容
5．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x＞0．（1）证明：当0＜x＜1时，函数f（x）是减函数；当x≥1时，函数f（x）是增函数．
（2）求函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x＞0的最小值．
分析 （1）根据单调性的定义，设x1＞x2＞0，然后作差$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，从而可以判断x1，x2∈（0，1）和x1，x2∈（1，+∞）时，f（x1）-f（x2）的符号，从而证明出f（x）在（0，1）上是减函数，而在[1，+∞）上是增函数；
（2）根据函数f（x）在（0，+∞）上的单调性便知x=1时，f（x）取最小值，这样便得出了f（x）的最小值．
解答 解：（1）设x1＞x2＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x1＞x2；
∴x1-x2＞0；
∴x1，x2∈（0，1）时，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴x∈（0，1）时f（x）为减函数；
x1，x2∈（1，+∞）时，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴x≥1时，f（x）是增函数；
（2）f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴x=1时，f（x）取最小值2；
即函数$f（x）=x+\frac{1}{x}，x＞0$的最小值为2．
点评 考查函数单调性的定义，根据单调性的定义证明函数单调性的方法和过程，作差法比较f（x1），f（x2）的大小关系，以及根据函数的单调性求函数最小值的方法．
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