Question

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q．若第k次出现“○”，则a_k=1；出现“×”，则a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（1）当p=q=时，求S₆≠2的概率；
（2）当p=，q=时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求S₆=2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“×”有2次．求出S₆=2的概率，再用1减去此概率，即可求得S₆≠2的概率．
（2）当S₈=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．由此求得S₈=2的概率为P=，运算求得结果．
解答：解：（1）当p=q=时，先求S₆=2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“×”有2次．
故S₆=2的概率为．
∴S₆≠2的概率为P₁=1-．
（2）当S₈=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为P==．
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，体现了转化的数学思想，属于中档题．