题目内容

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q．若第k次出现“○”，则ak=1；出现“×”，则ak=-1．令Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）．
（1）当p=q=
1
2
时，求S6≠2的概率；
（2）当p=
1
3
，q=
2
3
时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．
分析：（1）先求S6=2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“×”有2次．求出S6=2的概率，再用1减去此概率，即可求得S6≠2的概率．
（2）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．由此求得S8=2的概率为P=(
C
3
6
+
C
3
5
)•(
1
3
)5•(
1
3
)3，运算求得结果．
解答：解：（1）当p=q=
1
2
时，先求S6=2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“×”有2次．
故S6=2的概率为
C
4
6
(
1
2
)4•(
1
2
)2=
15
64
．
∴S6≠2的概率为P1=1-
15
64
=
49
64
．
（2）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为P=(
C
3
6
+
C
3
5
)•(
1
3
)5•(
1
3
)3=
30×8
38
=
80
37
=
80
2187
．
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，体现了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak=1；出现“×”，则记ak=-1，令Sn=a1+a2+••+an．
（I）当p=q=
1
2
时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；
（II）当p=
1
3
，q=
2
3
时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”与出现“×”的概率均为
12
，若第k次出现“○”，则ak=1；出现“×”，则ak=-1．令Sn=a1+a2+…+an（n∈N*）．
（I）求S6=2的概率；
（II）求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”，随机地反复地出，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”和“×”的概率都为
1
2
，若第k次出现“○”，则记ak=1，出现“×”，则记ak=-1，令sn=a1+a2+…+an，则S6≠2的概率为
49
64
49
64
．

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记；出现“×”，则记，令

   （I）当时，记，求的分布列及数学期望；

（II）当时，求的概率.

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