题目内容
（本题11分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图
2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则
轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，抛物线上是否存在一点
，过点作轴的垂线，垂足为
，过点作直线
，交线段
于点
，连接
，使
～
，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
图1 图2 
图3
（1）求抛物线的解析式
（2）如图
2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则
轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图3，抛物线上是否存在一点
，过点作轴的垂线，垂足为
，过点作直线
，交线段
于点
，连接
，使
～
，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
图1 图2 
图3 解：（1
）设所求抛物线的解析式为：
，依题意，将点B（3，0）代入，得 
解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，
，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0
时，y＝1
∴点F坐标为（0，1）
∴
=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴
对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴
………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入
，得：
解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，
由
题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使
即可，
即：
………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
，AB＝4
∴
∵
，
∴⑤式可写成：
解得
或
（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（
，0）
又∵点T在抛物线图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）.
）设所求抛物线的解析式为：
，依题意，将点B（3，0）代入，得 
解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线
，得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线
图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，
，∴x＝－1或x＝3当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0
时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴
=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴
对称， ∴点I坐标为（0，－1）
∴
………④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使
DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
，分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入
，得：
解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
； ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（
，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为
。 （3）如图7，
由
题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使
即可，即：
………………………………⑤设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
，AB＝4∴
∵
， ∴⑤式可写成：
解得
或
（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（
，0）又∵点T在抛物线
图像上， ∴当x＝
时，y＝
∴点T的坐标为（，）.略
练习册系列答案
期末100分闯关海淀考王系列答案
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，当过
轴上一点
的直线
与抛物线交于
两点时，
为锐角，则
的取值范围 （ ）
过抛物线
的焦点
且与抛物线相交于两点
，自
向准线
作垂线，垂足分别为
．
的方程；
取何实数时，
，
都是定值；
的面积分别为
，试判断
是否成立，并证明你的结论．
和
的直线与抛物线
没有交点,那么实数
的取值范围是 
的抛物线的标准方程是( )
或
的准线方程为 .
为任何值时，直线
恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为