Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均相等，且AA1⊥平面ABC，点D、E、F分别为所在棱的中点．

（1）求证：EF∥平面CDB1；

（2）求异面直线EF与BC所成角的余弦值；

（3）求二面角B1﹣CD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）．

【解析】

以为原点，在平面内，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；

（2）求出，，，，2，，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；

（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）证明：以C为原点，在平面ABC内，过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，

CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2，则E（，，0），F（0，1，2），C（0，0，0），D（，，0），B1（0，2，2），

（，，2），（，，0），（0，2，2），

设平面CDB1的法向量（x，y，z），

则，取x，得（，﹣1，1），

∵2＝0，EF平面CDB1，

∴EF∥平面CDB1．

（2）解：B（0，2，0），（，，2），（0，2，0），

设异面直线EF与BC所成角为θ，

则异面直线EF与BC所成角的余弦值为：

cosθ．

（3）解：平面CDB1的法向量（，﹣1，1），

平面BCD的法向量（0，0，1），

设二面角B1﹣CD﹣B的平面角为α，

则二面角B1﹣CD﹣B的余弦值为：

cosα．