题目内容

如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离的，求这个椭圆的方程.

解析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是=1(a＞b＞0),再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.

设椭圆方程为=1(a＞b＞0).

由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F,

因此△B1FB2为等腰直角三角形.

于是|OB2|=|OF|，即b=c.

又|FA|=,即a-c=,且a2=b2+c2.

将以上三式联立，得方程组

解得a2=10,b2=5.

∴椭圆方程为=1.

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l1：x=m（|m|＞1），P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．
精英家教网如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
3
2
，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=
12
5
2
时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，
2
），且离心率为
3
2
．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设
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MP
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PN
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=
|
MQ
|
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NQ
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=λ，试求实数λ的取值范围．
（2012•马鞍山二模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．

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