Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A、B且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为2$\sqrt{3}$，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{15}$

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率，得到a，b的关系，求出双曲线的渐近线，结合直线和其中一条渐近线垂直，得到直线方程，联立方程组求出交点坐标，结合三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵双曲线的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，即c=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，则b²=c²-a²=$\frac{12}{9}$a²-a²=$\frac{1}{3}$a²，
即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，则$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即双曲线的渐近线为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
则F（c，0），
设过右焦点F的直线与y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x垂直，则直线的斜率为-$\sqrt{3}$，
则过F的直线方程为y=-$\sqrt{3}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，得y_A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，得y_B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
则三角形OAB的面积S=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$×c•$\frac{\sqrt{3}}{4}$c+$\frac{1}{2}$×c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c²=2$\sqrt{3}$，
得c²=$\frac{16}{3}$，则c=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
则双曲线的焦距为2c=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线性质的考查，根据双曲线离心率和渐近线的性质建立方程是解决本题的关键．