Question

（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面，，，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：因为是棱柱，所以平面平面，由面面平行的性质定理可知，∥.根据线面平行的判定定理，即可证明结果.

（Ⅱ）因为底面，，所以，，两两垂直，以A为原点，以，，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系. 利用空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量为 又因为平面的法向量为， 根据向量的夹角公式，即可求出二面角的余弦值；

（Ⅲ）过点F作于点,因为平面平面，平面,所以平面,所以，因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合），即可求出三棱锥的体积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为是棱柱，

所以平面平面.

又因为平面平面，平面平面，

所以∥. 2分

又因为平面，平面，

所以∥平面. 4分

（Ⅱ）【解析】
因为底面，，

所以，，两两垂直，以A为原点，以，，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系. 5分

则，，，

所以 ,.

设平面的法向量为

由，,

得

令,得. 7分

又因为平面的法向量为， 8分

所以，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为. 10分

（Ⅲ）【解析】
过点F作于点,

因为平面平面，平面,

所以平面,

所以 12分

.

因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合），

所以当F与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. 14分.

考点： 1.线面平行的判定定理和性质定理；2.空间向量在立体几何中的应用；3.锥体的体积公式.