Question

（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆焦距为2 得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定 的值从而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设，先讨论当k不存在时，直线方程为，不符合题意．再研究当k存在时，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及由，则，确定的关系，从而求出实数.所求直线方程为．

试题解析：（Ⅰ）由题意知, 1分

解得 3分

故椭圆方程为． 4分

（Ⅱ）设

当k不存在时，直线方程为，不符合题意． 5分

当k存在时，设直线方程为，

联立，消去，得：， 6分

由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算） 7分

8分

若，则， 9分

代入上式，可得

，消去，解得. 13分

所求直线方程为． 14分

考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系