Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为2，A，B为左右顶点，P为双曲线右支上一点，PA的斜率为k₁，O为原点，PO斜率为k₂，PB的斜率为k₃，则m=k₁k₂k₃．则m的取值范围为（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 设P（s，t），（s＞0），即有$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，A（-a，0），B（a，0），运用直线的斜率公式，可得k₁k₃=$\frac{{t}^{2}}{{s}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，再由渐近线的斜率和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，A（-a，0），B（a，0），
设P（s，t），（s＞0），即有$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则k₁=$\frac{t}{s+a}$，k₂=$\frac{t}{s}$，k₃=$\frac{t}{s-a}$，
k₁k₃=$\frac{{t}^{2}}{{s}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{{s}^{2}-{a}^{2}}$•b²•$\frac{{s}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
则有m=k₁k₂k₃=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{t}{s}$，
由双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有-$\frac{b}{a}$＜$\frac{t}{s}$＜$\frac{b}{a}$，
由c=2a，可得b=$\sqrt{3}$a，
则m的范围是（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．
故答案为：（-3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，同时考查渐近线的斜率和离心率的运用，属于中档题．