题目内容

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值 $数学公式$ 称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=15⁰时，求“规划合理度”的值．

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ， $\text{[math]}$
设正方形的边长为x则 $\text{[math]}$ ，
由BP+AP=AB，得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ，
令t=sin2θ，因为 $\text{[math]}$ ，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$
所以当 $\text{[math]}$ 时，“规划合理度”最小，最小值为 $\text{[math]}$ ．
（3）θ=15⁰时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$
分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S₁；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值 $\text{[math]}$ 称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
（3）将θ=15°代入两面积的函数解析式，然后求出两面积的比值即可得到“规划合理度”的值．
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，属于中档题．

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称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S₁和S₂．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值

称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的边长为x，面积为S₂，将比值

称为“规划合理度”．
（1）求证：x=

．
（2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

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（1）试用θ表示y；
（2）求y的最大值．

（2007•杨浦区二模）如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值

称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=15⁰时，求“规划合理度”的值．