Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知不等式对任意实数恒成立．

（Ⅰ）求实数的最小值；

（Ⅱ）若，且满足，求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）不等式等价于．……………1分

令，则不等式对任意实数恒成立等价于

．………………2分

而作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，即，所以，即，故．……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，其中，所以，，，

所以原不等式等价于 ．……………6分

下面证明不等式：

因为（当且仅当时取等号），

（当且仅当时取等号），

（当且仅当时取等号）．……………8分

三式相加得：（当且仅当时取等号），……………9分

所以，即．………10分

【命题意图】本题考查含有绝对值的不等式恒成立问题、不等式的证明、函数图象的应用，意在考查推理论证能力、运算求解能力．