Question

3．已知a，b∈R，直线y=ax+b+$\frac{π}{2}$与函数f（x）=tanx的图象在x=-$\frac{π}{4}$处相切，设g（x）=e^x+bx²+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，则实数m（　　）

• A． 有最小值-e
• B． 有最小值e
• C． 有最大值e
• D． 有最大值e+1

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b=-1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．

解答 解：∵$f（x）=tanx=\frac{sinx}{cosx}$，∴$f'（x）=\frac{{cos{x^2}-sinx•（-sinx）}}{{{{cos}^2}x}}=\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$，
∴$a=f'（-\frac{π}{4}）=2$，又点$（-\frac{π}{4}，-1）$在直线$y=ax+b+\frac{π}{2}$上，
∴$-1=2•（-\frac{π}{4}）+b+\frac{π}{2}$，∴b=-1，
∴g（x）=e^x-x²+2，g'（x）=e^x-2x，g''（x）=e^x-2，
当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e-2＞0，
∴g'（x）在[1，2]上单调递增，
∴g'（x）≥g（1）=e-2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤g{（x）_{min}}=g（1）=e+1\\{m^2}-2≥g{（x）_{max}}=g（2）={e^2}-2\end{array}\right.⇒m≤-e$或e≤m≤e+1，
∴m的最大值为e+1，无最小值，
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．