Question

15．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：万吨）对价格y（单位：千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（1）求关于的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预计当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）将利润z表示为x的二次函数，利用二次函数的性质得出极大值点．

解答 解：（1）$\overline{x}=3$，$\overline{y}=5$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=62.7$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=-1.23$，$\hat a=8.69$，
∴线性回归方程为：$\hat y=8.69-1.23x$．
（2）年利润z=x（8.69-1.23x）-2x=-1.23x²+6.69x．
所以x=2.72时，年利润z最大．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，函数的最值，属于中档题．