Question

14．在Rt△ABC中，|AB|=1，∠BAC=60°，∠B=90°．
（1）若G是△ABC的重心，求$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$的值；
（2）若G是△ABC的内心，求$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的运算法则和重心定理及数量积运算即可得出；
（2）利用向量的运算法则和内心性质及数量积运算即可得出．

解答 解：（1）以B为圆心，以BC所在直线为x轴，以BA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵Rt△ABC中，|AB|=1，∠BAC=60°，∠B=90°，
∴|BC|=$\sqrt{3}$，|AC|=2
∴A（0，1），C（$\sqrt{3}$，0），
设E、F分别为AC、AB的中点，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），F（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=-$\frac{5}{9}$，
（2）∵G是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠GBC=45°，∠GCB=15°，
∴∠BGC=120°，
由正弦定理可得$\frac{BG}{sin15°}$=$\frac{CG}{sin45°}$=$\frac{BC}{sin120°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴BG=2sin15°=2sin（45°-30°）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，CG=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$=|$\overrightarrow{GB}$|•|$\overrightarrow{GC}$|cos120°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，熟练掌握向量的运算法则和重心内心以及数量积运算、模的计算公式和及其两角和差的正弦弦公式是解题的关键．