Question

9．已知函数$f（x）=cosx•\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}+sinx•\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$
（1）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，化简f（x）的解析式并求f（x）的对称轴和对称中心；
（2）当$x∈（π，\frac{3π}{2}）$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式化简函数的解析式．
（1）利用x的范围，化简函数的解析式，利用正弦函数的对称轴以及对称中心求解即可．
（2）求出相位的范围，然后求解函数的值域即可．

解答 （本题满分15分）
解：$f（x）=cosx•\sqrt{\frac{{{{（1+sinx）}^2}}}{{{{cos}^2}x}}}+sinx•\sqrt{\frac{{{{（1+cosx）}^2}}}{{{{sin}^2}x}}}$=$cosx•\frac{1+sinx}{{|{cosx}|}}+sinx•\frac{1+cosx}{{|{sinx}|}}$…（2分）
（1）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，$f（x）=cosx•\frac{1+sinx}{cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{sinx}$
=1+sinx+1+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+2$…（4分）
令$x+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$，
即函数的对称轴方程为$x=kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$； …（6分）
令$x+\frac{π}{4}=kπ，k∈Z$，即$x=kπ-\frac{π}{4}，k∈Z$．
即函数的对称中心为$（kπ-\frac{π}{4}，2），k∈Z$…（8分）
（2）当$x∈（π，\frac{3π}{2}）$时，$f（x）=cosx•\frac{1+sinx}{-cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{-sinx}$
=-1-sinx-1-cosx=$-\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）-2$…（11分）
此时，$x+\frac{π}{4}∈（\frac{5}{4}π，\frac{7}{4}π）$，则$sin（x+\frac{π}{4}）∈[{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）∈[{-\sqrt{2}，-1}）$
则值域为$（{-1，\sqrt{2}-2}]$．…（15分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角恒等变换，考查计算能力．