Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：数列{S_n+2}是等比数列；并数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析 （1）利用a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．分别取n=1，2，3，即可得出．
（2）利用递推关系可得：-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n+2=2（S_n-1+2），利用等比数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系可得a_n．

解答 （1）解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
∴n=1时，a₁=2；n=2时，2+2a₂=1×（2+a₂）+4，解得a₂=4．
n=3时，2+2×4+3a₃=2×（2+4+a₃）+6，解得a₃=8．
（2）证明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．   ①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
由①-②得na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2，
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n+2=2（S_n-1+2），S₁+2=4，
∴数列{S_n+2}是等比数列，以4为首项，2为公比．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．n=1时也成立．
∴a_n=2ⁿ．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．