Question

10．已知a，b∈R，若a²+b²-ab=1，则ab的取值范围是[$-\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 灵活应用基本不等式a²+b²≥2ab，即可求出ab的取值范围．

解答 解：当ab＞0时，
∵a，b∈R，且a²+b²-ab=1，
∴a²+b²=ab+1，
又a²+b²≥2ab当且仅当a=b时“=”成立；
∴ab+1≥2ab，
∴ab≤1，当且仅当a=b=±1时“=”成立；
即0＜ab≤1；
当ab=0时，不妨设a=0，则b=±1，满足题意；
当ab＜0时，
又∵a²+b²≥-2ab，
∴ab+1≥-2ab，
∴-3ab≤1，
∴ab≥-$\frac{1}{3}$，
当且仅当a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$、b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时“=”成立；
即0＞ab≥-$\frac{1}{3}$；
综上，ab的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，1]．
故答案为[$-\frac{1}{3}$，1]．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，解题时应注意不等式成立的条件，属于中档题．