题目内容
12．
如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；
（2）求EF的值．
分析 （1）推导出EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由此利用切割线定理能证明AE=EB．
（2）在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC，即可得到要求的线段．
解答 
（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线
依据切割线定理得EA2=EF•EC…（2分）
∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…（2分）
故AE=EB…（5分）
所以点E为AB的中点
（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC
又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC
所以$EF=\frac{{B{E^2}}}{EC}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
点评 本题考查切割线定理，考查射影定理，是一个中档题目．
练习册系列答案
相关题目
2．将3个半径为1的球和一个半径为$\sqrt{2}-1$的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）
| A． | $\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}}{3}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$ |
20．定义2×2矩阵$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3，若f（x）=$|\begin{array}{l}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{1}\end{array}|$，则f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x），则函数g（x）的解析式为（ ）
| A． | 图象关于（π，0）中心对称 | B． | 图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称 | ||
| C． | g（x）是周期为π的奇函数 | D． | 在区间[-$\frac{π}{6}$，0]上单调递增 |
17．“点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 不充分不必要条件 |