Question

已知数列满足,.
(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;
(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.

Answer 1

(1)   (2) 或

试题分析:(1)利用数列的单调性,得到的符号去掉的绝对值,再分布令得到之间的关系,再利用题目已知等差中项的性质列出关于的等式,即可求出的值.
(2)根据数列在为奇数和偶数的单调性可得到且,两不等式变为同号相加即可得到,根据题意可得结合与可去掉的绝对值,分为奇或偶数,利用叠加法即可求出数列的通项公式.
(1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或,
当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以.
(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为
(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得,
又因为,所以,即,
同理可得且,所以,
则当时,,这个等式相加可得
.
当时, ,这个等式相加可得
,当时,符合,故
综上.