Question

【题目】在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）普通方程为，极坐标方程为 （2）

【解析】

（1）由得，代入，化简即可求得曲线的普通方程，再结合，即可求解的曲线的极坐标方程；

（2）设直线方程为，由直线与曲线有公共点可得圆心到直线距离，可解得，进而求得的取值范围

（1）显然，参数，由得，

代入并整理，得，

将，代入，得，

即.

∴曲线的普通方程为，

极坐标方程为.

（2）曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为2的圆.

当时，直线：与曲线没有公共点，

当时，设直线的方程为.

圆心到直线的距离为.

由，得.

∴，即的取值范围为.