Question

【题目】已知椭圆:的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，过点作，垂足为D.

（1）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；

（2）证明直线过定点，并求出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，

【解析】

（1）由题意设直线AB的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围；

（2）由（1）得B，D的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．

（1）由题F（1,0），设直线AB：，

联立，消去x，得，

因为，，

则

所以四边形OAHB的面积，

令

因为（当且仅当t=1即m=0时取等号），所以，

所以四边形OAHB的面积取值范围为；

（2），所以直线BD的斜率，所以直线BD的方程为，

令y=0，可得①

由（1）可得

化简①可得

则直线BD过定点.