Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求证：函数恰有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求函数导数，即可得结论；

（2）先求出，结合定义域转化为证明有两个零点，利用导数求出单调区间，按零点存在性定理证明，即可得出结论.

解：（1）当时，，，

，故，

故所求切线的方程为：，即.

（2），，

因为，所以只需证明在已知条件下，

恰有两个零点即可.

由，

则，

当时，；当时，.

所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，

因为，故，所以，

记，则，

所以单调递增，

故时，，

即，，所以，即，

又，

由，，且在区间内单调递增，可得，

存在唯一，即，使得，

又在区间内单调递减，，，

故恰有两个零点，

所以，时，函数恰有两个零点.