Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）不存在

【解析】分析：（1）由题意得，再根据椭圆过点得到关于的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为，求得点的坐标后验证可得；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得

不成立．从而可得不存在直线满足题意．

详解：(1)由题意知,,，圆的方程为

由题可知，解得 ，

所以椭圆的方程为，圆的方程为.

（2）假设存在直线满足题意.

由，可得，故．

（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．

当直线时，可得

所以．

同理可得，当时，.

故直线不存在．

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为，

因为直线与圆相切，

所以，整理得①

由消去y整理得，

设，

则，，

因为，

所以，

则，即，

所以，

所以，

整理得②

由①②得，此时方程无解.

故直线不存在．

由（i）（ii）可知不存在直线满足题意.