题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆
所截得的弦长为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
是坐标原点，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据离心率以及弦长，结合
，可知
，可得结果.
（2）假设点
坐标，根据斜率存在与否假设直线方程，并与椭圆方程联立，使用韦达定理，表示出
，结合不等式，可得结果.
解：（1）设椭圆
的半焦距为
.
因为过焦点且垂直于
轴的直线交椭圆
所得的弦长为
，所以
，
得
①因为椭圆的离心率为
，
所以
②
又③
由①②③，解得
.
故椭圆的标准方程是.
（2）当直线
的斜率不存在时，
直线的方程为
，联立
解得
或
则点的坐标分别为
，
或，.
所以
；
当直线的斜率存在时,
设直线的方程为
.
联立
消去
得
，
因为点
在椭圆
的内部，
所以直线与椭圆一定有两个不同的交点.
则
.
所以
化简可得
则
化简可得
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
所以
，
即
，所以
.
综上，的取值范围是
.
【题目】某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：
专家 | A | B | C | D | E |
评分 | 9.6 | 9.5 | 9.6 | 8.9 | 9.7 |
（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数
作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数
和观众评分的平均数
，用
作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．
