Question

根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2                          则f (x2) －f (x1) == (x1－x2) ()                   ∵ x1<x2， ∴ x1－x2<0．                                                      当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0；                      当x1x2≥0时，有>0； ∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0．                         即  f (x2) < f (x1) 所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．                     证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2，                      则 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()．                 ∵ x1<x2， ∴ x1－x2<0．                                                    ∵ x1，x2不同时为零， ∴ x＋x>0． 又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2    ∴ >0，    ∴  f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0．                    即 f (x2) < f (x1)． 所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．