Question

已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）写出函数的定义域；函数的奇偶性
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即

1+x

1-x

＞0，求得x的范围，可得f（x）的定义域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定义域为（-1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）是增函数．

解答：解：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即

1+x

1-x

＞0，∴f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于 f（x）的定义域为（-1，1），且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log2

1-x1

1+x1

-log2

1-x2

1+x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

．

由题设可得 0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，∴log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故函数f（x）是增函数．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．