Question

已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性；
（Ⅲ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用对数函数的性质确定定义域．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义判断．（Ⅲ）根据函数单调性的定义证明函数的单调性．

解答：解：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以f（x）的定义域为（-1，1）…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
又f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数．    …（8分）
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以0＜（1+x₁）（1-x₂）=1+x₁-x₂-x₁x₂＜1+x₂-x₁-x₁x₂=（1-x₁）（1+x₂），
即0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1．所以log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）是增函数    …（14分）

点评：本题主要考查了对数函数的性质，要求熟练掌握对数的运算法则和对数函数的性质．