Question

19．已知命题p：“存在x∈R，x²-2x+m≤0”，命题q：“曲线$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{1+m}=1$表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：t＜m＜t+1
（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p为真：△≥0；若q为真：则$\left\{\begin{array}{l}5-m＞1+m\\ 1+m＞0\end{array}\right.$，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；
（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）?（-1，2），解出即可得出．

解答 解：（1）若p为真：△=4-4m≥0--------（1分）
解得m≤1--------（2分）
若q为真：则$\left\{\begin{array}{l}5-m＞1+m\\ 1+m＞0\end{array}\right.$------（3分）
解得-1＜m＜2--------（4分）
若“p且q”是真命题，则$\left\{\begin{array}{l}m≤1\\-1＜m＜2\end{array}\right.$--------（6分）
解得-1＜m≤1--------（7分）
（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）?（-1，2）-------（11分）
即$\left\{\begin{array}{l}t≥-1\\ t+1≤2\end{array}\right.$（等号不同时成立）-------（13分）
解得-1≤t≤1--------（15分）

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．