Question

6．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x²+（y-4）²=4，若直线x+my+2=0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是m≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 找出圆心的坐标与半径r，由题意可得以M为圆心，4为半径的圆与直线x+my+2=0有公共点，即圆心到直线x+my+2=0的距离小于等于4，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式求出不等式的解集，即可得到m的范围．

解答 解：圆M的方程为x²+（y-4）²=4，∴圆心M（0，4），半径r=2，
∵直线x+my+2=0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，
∴只需圆x²+（y-4）²=4与x+my+2=0有公共点，
∵圆心（0，4）到直线x+my+2=0的距离d=$\frac{|4m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$≤4，求得m≤$\frac{3}{4}$，
故答案为：m≤$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．