题目内容

2．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为λ、求C点的轨迹M的方程，并讨论轨迹M是何曲线．

分析 设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于λ（λ≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程；分λ的不同取值范围判断轨迹M为何种圆锥曲线．

解答 解：设C（x，y），则由题知$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=λ（λ≠0），
即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1（x≠±2）为点C的轨迹方程．
当λ＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；
当λ＜-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；
当λ=-1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为1的圆；
当-1＜λ＜0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．

点评 本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．

练习册系列答案
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15．北宋 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（　　）
A．$\frac{1}{π}$B．$\frac{1}{4π}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{4}$
16．数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，n≥2时an=3Sn，则an=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
13．设z=$\frac{3+2i}{i}$，其中i为虚数单位，则z的虚部等于-3．
20．设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x-$\frac{π}{3}$）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
7．已知a，b，c，d均为正数，且ad=bc
（Ⅰ）证明：若a+d＞b+c，则|a-d|＞|b-c|；
（Ⅱ）t•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$+$\sqrt{{b}^{4}+{d}^{4}}$，求实数t的取值范围．
14．设a，b，c，d均为正数，且a-c=d-b，证明：
（Ⅰ）若ab＞cd，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（Ⅱ）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是|a-b|＜|c-d|的充要条件．
11．已知数列{an}中，a1=3，${a_{n+1}}={a_n}^2-n{a_n}+α，n∈{N^*}，α∈R$．
（1）若an≥2n对?n∈N*都成立，求α的取值范围；
（2）当α=-2时，证明$\frac{1}{{{a_1}-2}}+\frac{1}{{{a_2}-2}}+…+\frac{1}{{{a_n}-2}}＜2（n∈{N^*}）$．
12．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]，若a，b，c∈R+时，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m．
（1）求证：a+2b+3c≥9；
（2）求证：$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$≤$\frac{2}{3}$．

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