题目内容
如图，已知直线l1：y=2x+m（m＜0）与抛物线C1：y=ax2（a＞0）和圆C2：x2+（y+1）2=5都相切，F是C1的焦点．（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．
【答案】分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
（3）设直线MF：y=kx+
，代入y=
得：
，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，最后利用函数思想即可求得△NPQ的面积S的取值范围．
解答：解：（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径
．（1分）
由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离
．（3分）
即
，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l1与抛物线的相切点为A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得
，
．（6分）
代入直线方程得：
，∴
所以m=-6，
．（7分）
（2）由（1）知抛物线C1方程为
，焦点 
．（8分）
设
，由（1）知以A为切点的切线l的方程为 
．（10分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为
（11分）
所以
，
，（12分）
∴
（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线
上．（14分）
（3）设直线MF：y=kx+
，代入y=
得：
，得x1+x2=6k，x1x2=-9．
S△NPQ=
|NF||x1-x2|=
×3×
=9
∵k≠0，∴S△NPQ＞9，
△NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
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，代入y=
得：
，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，最后利用函数思想即可求得△NPQ的面积S的取值范围．解答：解：（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径
．（1分）由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离
．（3分）即
，解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l1与抛物线的相切点为A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得
，
．（6分）代入直线方程得：
，∴
所以m=-6，
．（7分）（2）由（1）知抛物线C1方程为
，焦点 
．（8分）设
，由（1）知以A为切点的切线l的方程为 
．（10分）令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为
（11分）所以
，
，（12分）∴
（13分）因为F是定点，所以点M在定直线
上．（14分）（3）设直线MF：y=kx+
，代入y=
得：
，得x1+x2=6k，x1x2=-9．S△NPQ=
|NF||x1-x2|=
×3×
=9
∵k≠0，∴S△NPQ＞9，
△NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．
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