Question

如图，已知直线l₁∥l₂，点A是l₁，l₂上两直线之间的动点，且到l₁距离为4，到l₂距离为3，若

AC

•

AB

=0，AC与直线l₂交于点C，则△ABC面积的最小值为（　　）

A．3

B．6

C．12

D．18

Answer 1

分析：过A作直线l₁的垂线交点分别为E和F，由l₁∥l₂，得到直线EF也与l₂垂直，从而得到AE及AF的值，由两向量的数量积积为0得到两向量垂直，即AB与AC垂直，设∠FAC=θ，则有∠EAB=

π

2

-θ，分别在直角三角形AEB和AFC中，由AE，AF，及设出的角度利用余弦函数定义表示出AB积AC，由三角形ABC为直角三角形，用直角边AB与AC的乘积表示出三角形的面积，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，根据正弦函数的值域即可得到面积的最小值．

解答：
解：过A作l₁的垂线，与l₁，l₂分别交于点E和F，又l₁∥l₂，故直线EF也与l₂垂直，
则根据题意得AE=4，AF=3，
∵

AC

•

AB

=0，∴AB⊥AC，即∠BAC=

π

2

，
令∠FAC=θ，则∠EAB=

π

2

-θ，
∴cosθ=

3

AC

，则AC=

3

cosθ

，
同理可得AB=

4

cos( π 2 -θ)

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

6

cosθcos( π 2 -θ)

=

12

2sinθcosθ

=

12

sin2θ

≥12，
则△ABC的面积最小值为12．
故选C

点评：此题考查了平面向量数量积的运算，锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域，诱导公式及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，过A作出已知直线的垂线EF是解本题的关键．