Question

已知函数f（x）=

1+sinx

1-sinx

，x∈[0，

π

2

）
（1）若g（x）=f（x）+

1

f(x)

，求g（x）的最小值及相应的x值
（2）若不等式（1-sinx）•f（x）＞m（m-sinx）对于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数g（x）分离常数，得到-2+

4

1-sin2x

，由x的范围，得到sin²x∈[0，1），即可得到函数的最小值和自变量x的值；
（2）将不等式化简得到（m+1）sinx-m²+1＞0，令sinx=t，求得t∈[

1

2

，

2

2

]．即不等式（m+1）t-m²+1＞0对于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，代入

1

2

，

2

2

得到两个二次不等式，解出它们，再求交集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+sinx

1-sinx

，x∈[0，

π

2

），
∴g（x）=f（x）+

1

f(x)

=

1+sinx

1-sinx

+

1-sinx

1+sinx

=

(1+sinx)2+(1-sinx)2

1-sin2x

=

2(1+sin2x)

1-sin2x

=-2+

4

1-sin2x

，
∵sinx∈[0，1），∴sin²x∈[0，1），
故当sin²x=0时，即x=0时，g（x）取最小值-2+4=2；
（2）不等式（1-sinx）•f（x）＞m（m-sinx）即为1+sinx＞m²-msinx，
即有（m+1）sinx-m²+1＞0，
令sinx=t，由于x∈[

π

6

，

π

4

]，则t∈[

1

2

，

2

2

]．
由于不等式（m+1）t-m²+1＞0对于x∈[

π

6

，

π

4

]恒成立，
则

1

2

（m+1）-m²+1＞0，

2

2

（m+1）-m²+1＞0．
解得-1＜m＜

3

2

且-1＜m＜1+

2

2

，
则m的取值范围是：（-1，

3

2

）．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的最值和单调性，考查二次不等式的解法，考查转化思想的运用，属于中档题．