题目内容
已知函数f（x）=x2lnx-ax3-x2+x，若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A、（0，
| ||
B、（0，
| ||
C、（0，
| ||
D、（0，
|
考点：函数恒成立问题
专题：导数的综合应用
分析：求函数的定义域，将不等式进行等价转化，构造函数g（x）=
，求函数的导数，求函数的最值即可得到结论．
| f(x) |
| x |
解答：
解：函数的定义域为（0，+∞），
若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，
则λ＞0，
则不等式等价为?λ∈R使
≤
恒成立，
设g（x）=
=xlnx-ax2-x+1，
则函数的导数g′（x）=lnx-2ax，
由g′（x）=lnx-2ax=0得a=
，
∵当a＜0时，函数g（x）无极大值，∴只有当a＞0是成立，
设y=
，则y′=
，则当x=e时，函数y=
取得最大值为y=
=
，
则等价为a∈（0，
]，
故选：D
若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，
则λ＞0，
则不等式等价为?λ∈R使
| f(x) |
| x |
| f(λ) |
| λ |
设g（x）=
| f(x) |
| x |
则函数的导数g′（x）=lnx-2ax，
由g′（x）=lnx-2ax=0得a=
| lnx |
| 2x |
∵当a＜0时，函数g（x）无极大值，∴只有当a＞0是成立，
设y=
| lnx |
| 2x |
| 1-lnx |
| 2 |
| lnx |
| 2x |
| lne |
| 2e |
| 1 |
| 2e |
则等价为a∈（0，
| 1 |
| 2e |
故选：D
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，构造函数利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．
练习册系列答案
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已知O是△ABC所在平面上的一点，若
=
（其中P是ABC所在平面内任意一点），则O点是△ABC的（ ）
| PO |
a
| ||||||
| a+b+c |
| A、外心 | B、内心 | C、重心 | D、垂心 |
如图所示，有n（n≥2）行n+1列的士兵方阵：（1）写出一个数列，用它表示当n分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．