Question

如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角的大小为

依题设，，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，．························ 1分
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．……………………..2分
与平面内两条相交直线都垂直，…………….3分
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角．·················· 5分
，
，．…………..6分
，．
又，…………. 7分．
．
所以二面角的大小为．················· 8分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，．·········· 2分
（Ⅰ）因为，，
故，．…………..3分
又，
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，．················· 6分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．……….   8分