Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n•a_n+log 

1

2

a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（n-1）（S_n+2）-T_n＜t+

19

32

n² 对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1可求a₁=2，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，得到通项公式；
（2）由（1）可求b_n，利用分组求和及错位相减法可求T_n，由（1）可得S_n，代入不等式，分离出t后转化为求函数的最值即可；

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是以a₁=2为首项，2为公比的等比数列，
故an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）得，bn=n•2n+log

1

2

2n=n•2ⁿ-n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n），
令Rn=2+2•22+3•23+…+n•2ⁿ，
则2Rn=22+2•23+3•24+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-Rn=2+22+23+…+2n-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Rn=(n-1)2n+1+2，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

，
又由（1）得，S_n=2a_n-2=2ⁿ⁺¹-2，
不等式（n-1）（S_n+2）-T_n＜t+

19

32

n² 即为（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

＜t+

19

32

n2，即为t＞-

3

32

n2+

1

2

n-2对任意n∈N^*恒成立，
设f（n）=-

3

32

n2+

1

2

n-2，则f（n）=-

3

32

(n-

8

3

)2-

4

3

，
∵n∈N^*，∴f（n）_max=f（3）=-

43

32

，
故实数t的取值范围是（-

43

32

，+∞）．

点评：该题考查由数列递推式求数列通项、等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力、推理论证能力，错位相减法是数列求和的常用方法，要熟练．