Question

已知函数f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），且满足f′（-1）=0；
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．再利用f′（-1）=0，即可解得a．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-

1

2

x2-4x+2．x∈[-2，2]．令f′（x）=0，解得x=-1，

4

3

．列出表格，利用导数研究函数的单调性极值与区间端点出的函数值，即可得出最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=（x²-4）（x-a）（a∈R），
∴f′（x）=2x（x-a）+x²-4=3x²-2ax-4．
∵f′（-1）=0，∴3+2a-4=0，解得a=

1

2

，
∴a=

1

2

；
（2）由（1）可得：f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)=x³-

1

2

x2-4x+2．x∈[-2，2]．
f′（x）=3x²-x-4=（3x-4）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，

4

3

．
列表如下：

x	[-2，-1）	-1	(-1， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，2]
f′（x）	+	0	-	0
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=

9

2

；当x=

4

3

时，函数f（x）取得极小值，f(

4

3

)=-

50

27

；又f（-2）=0，f（2）=0．
可知：函数f（x）的最大值为

9

2

，最小值为-

50

27

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．