题目内容
若正数a，b，c满足a+b+c=1，则
+
+
的最小值为 ．
【答案】分析：根据a+b+c=1，得到（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）=9，结合柯西不等式证出9（
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）≥9，从而
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+
≥1，当且仅当a=b=c=
时等号成立，由此可得
+
+
的最小值．
解答：解：∵a+b+c=1，
∴（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）=3（a+b+c）+6=9
∵[（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）]（
+
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）
≥（
+
+
）2=（1+1+1）2=9
∴9（
+
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）≥9，得
+
+
≥1
当且仅当3a+2=3b+2=3C+2，即a=b=c=
时，
+
+
的最小值为1
故答案为：1
点评：本题给出三个正数a、b、c的和等于1，求关于a、b、c一个分式的最小值，着重考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑，是解决本题的关键所在．
++）≥9，从而++≥1，当且仅当a=b=c=时等号成立，由此可得++的最小值．解答：解：∵a+b+c=1，
∴（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）=3（a+b+c）+6=9
∵[（3a+2）+（3b+2）+（3C+2）]（
++）≥（
++）2=（1+1+1）2=9∴9（
++）≥9，得++≥1当且仅当3a+2=3b+2=3C+2，即a=b=c=
时，++的最小值为1故答案为：1
点评：本题给出三个正数a、b、c的和等于1，求关于a、b、c一个分式的最小值，着重考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑，是解决本题的关键所在．
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