Question

三题中任选两题作答
（1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，

π

2

)，若直线l过点P，且倾斜角为

π

3

，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；  ②试判定直线l和圆C的位置关系．
（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设向量

α

=

.

x   y

.

，由A²α=β，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量

α

．
（2）①根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
②先化直线l的参数方程为普通方程，求出圆心坐标，用圆心的直线距离和半径比较可知位置关系．
（3）利用柯西不等式，即可求得

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

解答：解：（1）、A²=

.

1 1 2 1

.

•

.

1 1 2 1

.

=

.

3 2 4 3

.

，设向量

α

=

.

x y

.

，由 A²

α

=

β

 可得

.

3 2 4 3

.

.

x y

.

=

.

1 2

.

，
∴

3x+2y=1 4x+3y=2

，解得 x=-1，y=2，
∴向量

α

=

-1 2

．
（2）①直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

，（t为参数）
圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（6分）
②因为M（4，

π

2

）对应的直角坐标为（0，4）
直线l化为普通方程为

3

x-y-5-

3

=0
圆心到l的距离d=

|0-4-5- 3 |

3+1

=

9+ 3

2

＞4，
所以直线l与圆C相离．（10分）
（3）∵正数a，b，c满足a+b+c=1，
∴（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）²，
即

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1
当且仅当a=b=c=

1

3

时，取等号
∴当a=b=c=

1

3

时，

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值为1．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．第（3）小题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．