题目内容
选做题本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中 两题 作答,每小题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A选修4-1:几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
B选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵A=
|
|
|
C选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为
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π |
4 |
2 |
P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
D选修4-5:不等式选讲
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求
1 |
3a+2 |
1 |
3b+2 |
1 |
3c+2 |
分析:A:根据MA为圆O的切线,由切割线定理得MA2=MB•MC.从而MP2=MB•MC.依据相似三角形的判定方法得:△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP.最后在△MCP中,即得∠MPB.
B:由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,得关于a,b的方程,解得a,b,c,d即可得矩阵.
C:先将原极坐标方程化简为ρcosθ+ρsinθ=4,再化成直线l的直角坐标方程,设点P的坐标为(2cosα,sinα),利用点到直线l的距离结合三角函数的有界性即可;
D:利用柯西不等式结合正数a,b,c满足a+b+c=1,得出
+
+
≥1,从而得出原式取最小值.
B:由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,得关于a,b的方程,解得a,b,c,d即可得矩阵.
C:先将原极坐标方程化简为ρcosθ+ρsinθ=4,再化成直线l的直角坐标方程,设点P的坐标为(2cosα,sinα),利用点到直线l的距离结合三角函数的有界性即可;
D:利用柯西不等式结合正数a,b,c满足a+b+c=1,得出
1 |
3a+2 |
1 |
3b+2 |
1 |
3c+2 |
解答:解:A
因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB•MC.
又M为PA的中点,所以MP2=MB•MC.
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC.(5分)
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB=20°.(10分)
B:
由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,
即
=-1×
,得
(5分)
同理可得
解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵A=
.(10分)
C:
ρcos(θ-
)=2
化简为ρcosθ+ρsinθ=4,
则直线l的直角坐标方程为x+y=4.(4分)
设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离d=
,
即d=
,其中cosφ=
,sinφ=
.(8分)
当sin(α+φ)=-1时,dmax=2
+
.(10分)
D:
因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以,(
+
+
)[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1)2,(5分)
即
+
+
≥1,
当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=
时,原式取最小值1.(10分)
因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB•MC.
又M为PA的中点,所以MP2=MB•MC.
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC.(5分)
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,得∠MPB=20°.(10分)
B:
由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,
即
|
|
|
|
同理可得
|
|
C:
ρcos(θ-
π |
4 |
2 |
则直线l的直角坐标方程为x+y=4.(4分)
设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离d=
|2cosα+sinα-4| | ||
|
即d=
|
| ||
|
1 | ||
|
2 | ||
|
当sin(α+φ)=-1时,dmax=2
2 |
| ||
2 |
D:
因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以,(
1 |
3a+2 |
1 |
3b+2 |
1 |
3c+2 |
即
1 |
3a+2 |
1 |
3b+2 |
1 |
3c+2 |
当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=
1 |
3 |
点评:本小题主要考查特征值与特征向量的计算、相似三角形的判定、简单曲线的极坐标方程、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
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