题目内容
例4．若正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(a+| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 100 |
| 3 |
分析：首先根据题意设出a，b，c的值，然后分别分析a2+b2+c2，与
+
+
的取值范围，最后化简(a+
)2+(b+
)2+(c+
)2即可求证结论成立．
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
解答：解：∵若正数a，b，c满足a+b+c=1
∴设a=
+x，b=
+y，c=
+z（其中x+y+z=0）
∴a2+b2+c2
=
+2（x+y+z）+x2+y2+z2≥
∵
+
+
≥3×(
)
又∵1=a+b+c≥3(abc)
∴abc≤
∴
+
+
≥3×(
)
≥27
∴(a+
)2+(b+
)2+(c+
)2
=a2+b2+c2+
+
+
+6
≥
+27+6
=
∴(a+
)2+(b+
)2+(c+
)2≥
．
∴设a=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴a2+b2+c2
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
| 1 |
| (abc)2 |
| 1 |
| 3 |
又∵1=a+b+c≥3(abc)
| 1 |
| 3 |
∴abc≤
| 1 |
| 27 |
∴
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
| 1 |
| (abc)2 |
| 1 |
| 3 |
∴(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
=a2+b2+c2+
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| c2 |
≥
| 1 |
| 3 |
=
| 100 |
| 3 |
∴(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 100 |
| 3 |
点评：本题考查不等式的证明，通过对需要证明的不等式进行化简，分块进行证明．涉及基本不等式以及不等式的转换，需要对知识熟练掌握并运用，属于基础题．
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