题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点
，且
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为
，
，点
是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线
，
与直线
分别交于点
，
，求证：以线段
为直径的圆过定点.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由
，得
，又
，且
，联立求解出
、
、
的值，即可求出椭圆方程；
（Ⅱ）设点
，由点
在椭圆上和直线
、
的斜率求出
，设直线、的方程，求出点
和点
的坐标，设圆过定点
，
为直径，所以
，化简后即可得到定点.
（Ⅰ）由，得，
又因为，且，
得
，
，
，
所以椭圆
的方程为.
（Ⅱ）由题意，点
，点
，
设点，则
，得
，
又设直线，的斜率分别为
，
，
则
，
，
所以
，
∴直线：
，直线：
，
所以点
，
，
假设过定点
，
由得
，
所以得
，
令
，得
或
，
所以过定点
，
.
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