Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成的二面角大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）方法一: 取的中点，的中点，由勾股定理可得，，在三棱柱中易知平面，由于，由此平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结果.

方法二：以为坐标原点建立空间坐标系，分析求出向量 的坐标，进而根据，结合线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理即可得到平面平面平面．

（2）求出平面与平面的法向量坐标，代入向量夹角公式，求出平面与平面所成的二面角的余弦值，进而可以求出平面与平面所成的二面角．

（1）方法一：

证明：取的中点，的中点，连接

，.

E、F分别为AC1、AC的中点

，，

，，故四边形是平行四边形

.

在直三棱柱中，，

又且

平面.

由于.

平面平面

平面平面.

方法二：

证明：

，

由勾股定理知，，则如图所示建立直角坐标系，坐标分别为：

分别是之中点.

故

，

平面，平面

平面平面

（2）设平面的法向量，且

令，

显然平面的法向量为，平面的法向量

，故两平面的夹角为.