Question

【题目】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．
（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1= ﹣3，a2= ，a3=4，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn= an ， cn= ，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m 或m＜0．

∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪

（2）解：假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由题意可得：n+ ＜n2+n对n∈N*都成立，即d 都成立．∵ =2+ ＞2，且 =2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{an}为“H型数列”
（3）解：设等比数列{an}的公比为q，则an= ，且每一项均为正整数，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．

同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，

即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3

，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，

①当a1=1，q=4时， ，则 ，令 ，则 ，令 ，则

= ，

∴{dn}为递增数列，

即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，

即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1，

∵ ，所以，对任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，

即数列{cn}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时， ，

则 ，显然，{cn}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，

故数列{cn}不是“H型数列”；

综上：当 时，数列{cn}为“H型数列”，

当 时，数列{cn}不是“H型数列”

【解析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m范围即可得出．（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由题意可得：n+ ＜n2+n对n∈N*都成立，即d 都成立．解出即可判断出结论．（3）设等比数列{an}的公比为q，则an= ，且每一项均为正整数，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1 ， 即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．