Question

P，Q，M，N四点都在椭圆x2+

y2

2

=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知

PF

与

FQ

共线，

MF

与

FN

共线，且

PF

•

MF

=0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

Answer 1

分析：由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1，PQ的方程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为

1

2

，|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2．当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出|MN|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，所以S_{四边形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

，由此入手结合题设条件能够导出（S_{四边形PMQN}）_max=2，（S_{四边形PMQN}）_min=

16

9

．

解答：解：∵

PF

•

MF

=0?

PF

⊥

MF

．即MN⊥PQ．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F（0，1）
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
分别代入椭圆x2+

y2

2

=1中得：|MN|=

2

，|PQ|=2

2

．
S_{四边形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1（k≠0），
代入椭圆x2+

y2

2

=1中得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 2k k2+2 )2+ 4 k2+2 ]

=

2 2 (1+k2)

k2+2

同理可得：|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，
S_{四边形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2×

2k4+4k2+2

2k4+5k2+2

=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

（当且仅当k2=

1

k2

即k=±1时，取等号）．
又S_{四边形PMQN}=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)＜2，∴此时

16

9

≤S_{四边形PMQN}＜2．
综上可知：（S_{四边形PMQN}）_max=2，（S_{四边形PMQN}）_min=

16

9

．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误．