Question

P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率e=,左焦点F（-1，0）的椭圆上，已知与共线，与共线，·=0，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.

Answer 1

解析：椭圆方程为+y²=1.

∵·=0，PQ⊥MN.

设PQ的方程为ky=x+1,代入椭圆方程消去x得

（2+k²）y²-2ky-1=0.

设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)，则

|PQ|=|y₁-y₂|

=

=

=.

(1)当k≠0时，MN的斜率为-,同理可得

|MN|=,

故四边形面积S=|PQ||MN|=.

令u=k²+,则u≥2,即S==2(1-).

当k=±1时，u=2,S=.且S是以u为自变量的增函数，∴≤S＜2.

(2)当k=0时，MN为椭圆的长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ||MN|=2.

综合（1）(2)知，四边形PQMN面积的最大值为2，最小值为.